합성이론 5. Filter의 세계로
* Passive filter.

위 그림은 지난 챕터 4에서 보았던 low-pass RC filter를 보여줍니다. 지난 챕터에서 우리는 RC filter의 cutoff frequency가 단순히 2개의 값을 선택함으로써 정의될 수 있다는 것을 배웠습니다.
이처럼 필터에 넣는 것과 끄집어 내는 것과의 관한 관계를 Transfer Function이라고 합니다. 이것은 amplitude response와, phase response가 될 수도 있지요. RC filter의 Transfer Function는 간단합니다. Fc(이하cutoff frequency) 위의 frequency가 모두 doubling되면, 출력의 gain은 절반이 됩니다. (그림 2)

예를 들어보면 Fc가 1KHz면 2KHz의 gain은 절반, 1/2가 되겠지요. 그리고 4KHz에서의 gain은 다시 절반이 된 1/4가 됩니다. 각각 frequency의 doubling이 한옥타브 동등하게 올라가고, 각각 연속해서 반씩 줄어든 gain은 ‘6dB의 감소’라고 알려져 있고, 이 filter를 6dB/octave filter라고 합니다.

위의 그림 3에서 보면 signal amplitude는 Fc에서 이미 3dB이나 줄어든 모습을 볼 수 있습니다. 즉, passive low filter에서 Fc는 필터가 일을 시작하는 지점이 아닌 것입니다. 그리고 3dB 차이는 귀로도 쉽게 인식 가능한 정도이고요.

위의 그림은 톱니파의 하모닉스 각각의 amplitude가 로가리드믹하게 줄어든 모습을 볼 수 있습니다. 그리고 아래의 그림 5에서 로가리드믹 한 모습이 훨신 보기가 편하게 되어있지요. 보기는 달라보이지만, 정확하게 같은 그레프입니다.

그리고 그림 6은 필터의 Fc를 3KHz로 하여 100Hz 톱니파에 적용을 시킨 모습입니다.
다음 그림 7과 8은 뚜렷하게 차이를 나타내지 않는데, 그 이유는 3KHz인 Fc가 30번째 하모닉스까지 통과하게 해주었기 때문입니다. 이것은 단지 low-amplitude high-frequency harmonics가 적용된 것입니다. 그러나 이 차이는 귀로 인식이 충분하게 가능합니다.

6dB/octave 의 특성은 스테레오 시스템에서 음색의 조절에 많이 사용되지만, 사실상 소리의 합성기술에 많이 사용되는 것은 아닙니다. 왜냐하면, 이 필터는 소리의 음색을 아주 다양하고 드라마틱하게 바꿀정도의 능력이 되는 것은 아니기 때문입니다.
따라서 조금 더 powerful한 filter제작의 예를 보면, 12dB, 18dB, 24dB filter를 만들어 보는것인데, 이것은 아래처럼 각각을 직렬로 연결하여 만들어집니다.

12 dB/octave filter는 ‘2 pole filter’라 하고, 24dB/octave filter는 ‘4 pole filter’라 합니다. pole이라는 단어는 RC filter를 그릴때에 tent-pole을 가진 고무판처럼 보이기 때문입니다. 만약 하나의 Fc를 가지고 24dB/octave filter를 만들고 싶다면, 우리가 각 섹션을 직렬로 연결 할 때, 그것은 더 이상 개별적으로 활동하지않고 상호작용하게 됩니다. 따라서 다음 그림처럼 굽은 “knee”를 가지게 됩니다.

여기에서 중요한 결과를 알 수 있습니다. 어떤 passive 4-pole filter가 high-frequency에서 24dB/octave rolloff (rolloff는 줄어드는 지점이라고 생각해보세요. Cutoff의 개념처럼요)인 반면, 6dB/oct, 12 dB/oct, 18 dB/oct가 rolloff인 지역 안에 더 크거나 작은 범위로 보여집니다. 말이 어렵지만 위 그림11처럼 4-pole에서는 직선라인이 아니란 것을 알 수 있습니다. Frequency와 입출력 power의 관계는 이전과는 다른 양상을 가지게 됩니다.

우리는 Fc아래의 각 필터의 pass band, phase-shifting effects등은 무시하고 생각해 왔습니다. 하지만, filter stages에 operation amplifier(op-amps)를 사용하여 각 응답 별로 분리하여 더 active한 필터를 디자인 할수 있습니다. 더 날카로운 knee를 만들거나, pass-band의 flatness를 최대화할 수도 있습니다만, 한꺼번에 모든 것을 다 할 수는 없습니다만, 좋은 필터의 디자인이라는 것은 언제나 필요에 따라서 선택하여 만들어 지는 것이겠지요.
지금까지 이야기한 전자회로는 아주 이상적인 것들만 보여진 것입니다. 하지만 실제로 많은 filter들은 실제 요구되는 것과 미세한 차이를 발생시키곤 합니다. 24 dB/oct filter에서도 4개의 poles가 완전하게 겹쳐지는 것이 아니라는 것이죠. 차이가 미세하든, 광대하든지 간에, 모든 음향필터는 많은 차이가 있으며, 개인적인 취향과 용도에 따라서 적절하게 사용되는 것만이 우리의 최선이 되겠습니다!
그럼 다음에 계속 ^^