합성이론 13: Frequency Modulation 살펴보기

지난번 챕터를 통하여 아마 여러분은 FM을 이해하는 어느 정도의 방법에 대해서 익숙해 지셨기를 바랍니다. 그러나, 지금 조금 더 깊은 부분, digital FM instrument 나FM으로 만들어진 modular analogue synth 을 본다면 아마 음악적인 음색보다 FM noise들을 만들게 될 확률이 큽니다. 왜냐하면 여러분들은 sideband와 FM과 Carrier간에 실제 과정상에서 일어나는 다른 작용들에 대하여 살펴보지 않았기 때문이겠지요. 또한 단순한 화성이론에 들어맞게 만드는 방법에 대한 설명도 아직 하지 않았고요. 게다가 side bands의 amplitude를 제어하는 방법에 대한 것도 아직 이야기 하지 않았고요. 자. 그래서 앞으로 이것들을 하나하나 시작해 보도록 하겠습니다.

1. Carrier:Modulator (C:M) 비율
우리는 지난 챕터를 통해서FM의 각 sideband가 Carrier frequency ±Modulator frequency의 정수 곱과 같은 frequency에 높인다는 것을 알고 있습니다. 지난번에 이것이 이렇게 설명되었지요

Equation 1: The maths for working out the frequencies of the side bands produced by frequency modulation

이 공식에서 wsb = side band frequencies의 series, wc = Carrier frequency , wm = modulator frequency, and n = 정수 (0, 1, 2, 3, 4…).입니다.
이제 저는 Hz로 표현되는 frequency에 대한 언급을 지우고 모든 것을 조금 복잡하게 해 볼 생각합니다. 우리는 Carrier와 Modulator frequency의 관계를 비율로서 설명할 수 있으며 이것을 ‘C:M Ratio’라 합니다.

예를 들어서 Carrier frequency인 wc 가 100Hz 이고 Modulator frequency wm 가 200Hz이면, 저는 이것을 1:2ratio라고 할 것입니다. 그리고 이것은 단지 비율만 표기되었고 Hz로 표현되어있지 않습니다.

이것을 정의하기 위해서 이렇게 말해보지요. ‘어떤 주어진 CF(Carrier frequency)에 대하여 윗부분에 있는 sideband들이 C+M, C+2M, C+3M, C+4M…에 놓이고, 더 낮은 것은 C-M, C-2M, C-3M, C-4M…에 놓인다’ 라고 말해봅니다. 이것은 아주 중요한 결과입니다. 여기서 주목해보세요. 이것은 즉, 배음열과 같은 개념상 놓이게 되었습니다.!

C:M ratio is 1:1인 경우를 생각해 봅시다. 이 경우에 Carrier는 1이고 윗부분에 있는 sideband는 2, 3, 4.에, 그리고 낮은 sideband는 0, -1, -2, …에 놓이게 되겠습니다. 그리고 wc 가 100Hz이고 wm도 100Hz가 되어야겠지요? (1:1)그럼 위쪽 sideband는 200, 300, 400 Hz에 놓이게 되겠구요. 이것은 아시다시피 완전한 배음열에 놓이게 됩니다. 즉 다시 말해서 1:1 C:M에 있는 위쪽 sideband는 CF값이 무엇이든 간에 배음 열을 만들어 냅니다.

그러나 낮은 sideband는?? 이것은 말그대로 하자면 0Hz, -100Hz, -200Hz, -300Hz…이렇게 되어야 하는 것이겠죠? 그런데 minus값이라니??

여기에서 단순한 대답이 주어지게 됩니다. 음수의 frequencies는 정수의 frequencies와 같습니다.! 그러나 그것의 위상은 전환됩니다. 이전 합성이론 4장에 보면, out-of-phase signals이 상쇄되고 silence로 남는다 (그림1)는것에 대해서 이야기 했었습니다. 물론 1:1 ratio가 100Hz에서 -100Hz에 의해 상쇄가 되어 소리가 사라지게되고.. 200Hz는 -200에 의해서 상쇄되고…??

물론 이 대답은 ‘no’입니다. 그 이유는 단순합니다. : 전체의 상쇄가 발생하기 위해서는. 상쇄하는 요소의 amplitude는 반드시 같아야 합니다. 그리고 이 경우에서, 상쇄하는 놈, 상쇄 당하는 놈의 amplitude는 다르다는 것이죠. 그럼 side band의 amplitude값을 우리가 어떻게 알 수 있을까요?

2. 베셀함수(Bessel function)
‘Bessel Function’란 용어가 생소하게 느끼신다면, 앞에 챕터를 잘 안보신 것입니다. (ㅋㅋ) 여러 번 언급한적이 있었지요? 베셀함수는 파이(Pi3.1415..)가 원주와 관련하여 무엇을 하는 녀석이라고 하다면 베셀함수는 수학, 물리학, 엔지니어링의 거의 모든 면을 포섭하고 있는 녀석입니다. 만약 여러분이 Modulation Index에 대해서 안다면 어떤 스펙트럼 요소의 amplitude이든 베셀 공식을 사용하여 계산해 낼 수 있습니다.

자. 만약 여러분이 지금부터 하는 몇 문단을 그냥 지나가고 싶어하신다 하더라도 제가 할말이 없습니다. 그래두 한번 읽어 보시겠다면 대 환영이겠지만 ^^ 무언의 압박..

자. 그럼 몇 가지 정의를 내려볼게요. Carrier인 ‘C’를 우리의 Modulate된 신호의 0순위 요소로 설정하고, ‘C+M’ 와 ‘C-M’는 1순위 요소로, ‘C+2M’ 와 ‘C-2M’는 2순위 요소로.. 이렇게 설정해 봅니다.

그 다음 각 순위’n’의 side bands의 각각 쌍들의 amplitude가 순위 ‘n’의 베셀 함수에 의해 정의된 것이 다음 공식 2와 같습니다

<공식 2>
이 공식에서 J(n)(ß)는 Modulation Index ß 에 대한 n순위의 베셀공식 Bessel Function, k 는 그냥 양수 0, 1, 2, 3, 4…(무한대까지), !는 ‘factorial’ (오랜만에 들어보죠?),(참고로.. 혹시 잊으셨을 까봐.. 3!는 0+1+2+3입니다. 4!는 0+1+2+3+4)

네. 끔찍한 공식임에 분명합니다. 지난번 것은 아무것도 아니죠? 아니.. 왜 음악을 하는 데에 이런 것들이 등장해야만 하냐구요. 자.. 사실은 여러분이 DX synthesizer를 program할 때 이것들이 다 사용되고 있답니다. 단지 야마하가 겉으로 보여주지 않을 뿐이죠.  ‘Cross Modulation’ 기능을 사용할 때에도 쓰이고 있습니다. 앗.. cross modulation 는 결국.. 단지 FM의 또 다른 이름이라는 ^^

아무튼.. 만약 여러분이 조금 더 참아보시겠다면 다음 공식3을 보여드리도록 하겠습니다. 하하.. 조금 더 상태 안 좋죠.

<공식 3>

<공식 4>

modulation index ß 가 0.1이라고 상상해보세요. 그리고 여러분이 0번째의 amplitude(Carrier)를 계산하고 싶다고 해볼게요. 그럼 우리는 일단 공식3에서처럼 0을 넣어서(k=0)계산할 수 있습니다. 그리고 두 번째는 k=1(공식4)

이런방법으로 다른 숫자를 대입하여 계산할 수 있습니다. (k=2, k=3, k=4…) 그리고 그것들을 모두 더합니다.  만약 이렇게 하는게 괴롭다면, 3번째가 2번째것보다 값이 작고(그리고 양수이고), 4번째는 3번째것보다 작고 그리고 음수이고.. 이런 방식으로 진행된다는 사실을 알게 됩니다. 이것은 converging series(집중되는 수열)이라고 불리웁니다. 그리고 만약 이것을 다 더하면 Carrier의 amplitude는 1과 아주 근접해 집니다..

자. 그럼 Carrier의 amplitude는 되었고, 그럼side bands는?? 첫번째 sideband인C+M 와 C-M를 구하기 위해서 여러분은 단순히 공식2에 n=1 을 대입하고,  k를 0으로 바꿉니다. 그리고 모든 과정을 다시 시작합니다. 이것을 다 한다음 공식 2에 n=2 를 대입하고 다시 k를 0으로 합니다. 두번째 순서인 C+2M와 C-2M를 구하고 싶다면 그때는 n=3, n=4… 를 대입하면 되는것입니다. 보시다시피, 여러분은 무한한 수열의 계산을 하고 있는것입니다.

다행히, 여러분을 위해서 이 모든 amplitude를 계산해 줄 강력한 방법이 있습니다. 가장 흔한방법은 (그리고 아주 강력한 방법 ㅎㅎ)은Microsoft Excel 을 사용하는 것입니다. 이 녀석은 Modulation Index ß와 n번째의 어떤 베셀공식의 값을 구하는것도 아주 쉽게 해 줍니다.

<그림2>

<그림3>

<그림4>

<그림5>

<그림6>

<그림7>

그림 2에서 7까지는 amplitude chart입니다. 푸른색은 0번째의 Carrier이고 녹색은 그 다음 8개까지의 성분들입니다. 그림 7에서는 Carrier의 amplitude와 첫번째 sidebands가 음수인 것을 볼 수 있습니다(ß=5일 때) 이것은 frequency들이 음수로 전환된다는 것이 아닙니다. 단지 phase의 변화가 역으로 이루어 진 것입니다

3. 인식가능한 배음열 만들기
자 이제 잠시 예를 ß=1일 때 1:1의 예로 돌아가 봅니다. 그림 5에서 여러분은 Carrier가 원래의 amplitude에 거의 도달해 있는 것을 볼 수 있습니다. 그것의 오른쪽에 보면 배음열 2C, 3C, 4C, 5C가 보입니다. 그리고 왼쪽을 보면 0Hz일때에 중요한 요소인 (C-M)를 볼 수 있습니다. (이것은 DC 또는 직렬component로 알려져 있습니다. 왜냐하면 이것은 oscillation frequency를 가지고 있지 않기 때문입니다.-11장 참고하세요-),그리고 아래의amplitude요소  -C, -2C, -3C 를 볼 수 있습니다. 이미 이야기 한 것처럼 이것은 C, 2C, 3C로 위상이 거꾸로 된 것입니다. 따라서 같은 frequency에 있는 같은 위상의 요소로부터 뺀것입니다. 그림 8을 참고하세요

<그림8>

만약 우리가 DC요소를 무시한다면 결과는 모두 Carrier frequency의 overtone을 포함하고 있습니다. (1:1만이 그렇게 될 수 있는 비율입니다.) 그리고 이것은 1/n 배음열로 보입니다. (단지 처음 몇 개의 배음만 있는) 재미있게도 여러분은 여기에서 filter된 sawtooth wave를 완전하게 설명할 수 있을 것입니다.!!

자 그럼 ß=1인1:2 의 경우를 살펴보겠습니다. 이 경우에는 위쪽의 sideband는 C, 3C, 5C, 7C 에 있습니다. 그리고 아래쪽에서 음수에서 역으로 되는 것도 C, 3C, 5C, 7C 에 있습니다.  경우에 결과는 홀수 번째의 성분만 가지게 됩니다. 어디서 많이 보았죠? 이것은 여러분이 square wave를 filter할 때 얻는 결과와 같지요?

자 이번에는 C:M 비율이1:3, 1:4,…일 때를 보지요. 1:3의 위쪽 sidebands는 4C, 7C, 10C… 에, 그리고 아래에서 반사되어 올라오는 것은 2C, 5C, 8C… 에 놓이게 됩니다. 이것은 33%의 pulse wave의 스팩트럼을 연상케 합니다. 이와 유사하게 1:4는 위쪽 sidebands는 5C, 9C, 13C…에 그리고 아래쪽에서 올라오는 것은3C, 7C, 11C…에 놓이게 됩니다. 이것은 역시 square wave와 같습니다.

이렇게, 지난번 챕터의 예제에서 3600Hz bandwidth에서 출력에 24 스팩트럼 요소가 있었던 부분이 설명이 됩니다. 거기에는 10개의 위쪽 sidebands가 있었고, Carrier와 하나의 반사되지 않은 아래쪽 sideband와 12개의 반사된 아래쪽 sideband들이 바로 그것들이지요.
여기서 여러분은 아마 FM이 아주 복잡하지 않게 느껴질지도 모르겠네요(수학만 빼고). 하지만 사는게 그렇듯이, 보이는게 전부가 아니라는것이죠.. 정수 C:M의 비율이 상대적으로 단순한데 그 이유는 그것들이 Cf에서 기본음을 가지는 화성적인 waveform을 만들어 내기 때문입니다. 그러나 또한 특별한 경우들이 있습니다. 예를들어 선택된 비율이 정수가 아닌경우와 같은것들이겠지요. 1:1.2138754 C:M ratio 같은것이 그런것인데, 분명 결과적으로 소리는 완전히enharmonic할 것입니다. 뿐만아니라, Carrier는 더이상 Spectrum상 가장 낮은 소리가 아니라는것이 중요한 점이 되겠지요 ^^

이번 챕터에서 사실상 synthesizer에 관한 정보를 조금 더 다루어 볼까 했는데, 아주 기계적이고 기술적인 부분에 대해서는 조금 지나가 볼까 합니다. 나중에 꼭 필요하다고 느껴지는 부분들이 남으면 다시 올리겠습니다.

오랜만에 찾아뵈었지요? 저는 한국에 온 이후에 더위와 졸음에 찌들다가 powerbook을 최신형으로 업그레이드 한 이후에 활기를 되찾고있습니다. 정말 좋네요. 사용기를 나중에 한번 올려보도록 하지요. 여러분 건강 조심하세요!

2.  사용하기        
이제 이론에서 실제로의 접근을 시작해 볼 차례입니다.
일단 여러분이 키보드에서 Carrier를 연주할 때 Modulator는(같은 amplitude에서) 고정된 프리퀀시를 가지고 있다고 가정해 봅니다. 그것을 100Hz라고 해두고요.

* CASE 1
Carrier 가frequency 100Hz의 modulator를 가질 때, Amplitude Modulation 으로 생성되는 3개의 frequencies는0Hz, 100Hz, 200Hz가 되겠지요? 지난번에 말씀 드렸듯이 이것은 합, Carrier, 차, 이렇게 3가지 신호가 됩니다. 여러분은 아마 여기에서 0Hz가 아무런 효과가 없을거라 생각하실것입니다. 그러나 그렇지 않죠. 왜냐. 그것은 여전히 amplitude를 가지고있으며 (Modulator amplitude의 절반) 그리고 그것은 signal에서 offset으로 나타납니다. 우리는 바로 이것을DC (직렬) offset 이라 합니다. 왜냐하면 0Hz에 있는 것은 oscillation frequency를 가지지 않기 때문이지요.

위의 그림 11이 잘 보여주고 있습니다. X축 위로 높은 비율의 신호가 있지요. DC offsets은, 신호가 필터나 amplifier와 같은 synthesizer modules 에 의해서 적용될 때에 중요한 효과가 될 수 있습니다.  지금은 DC offset에 대해서는 이쯤 이야기하고 넘어가기로 합니다.

다른 두 신호는 Carrier 100Hz, 와 합의 값 200Hz가 있지요. 그 합의 신호는 물론 정확하게 Carrier의 옥타브 위의 값이 되겠지요. 그래서 이 소리는 harmonic하거나 ‘sweet’하게 들립니다. 어찌되었건, 이 경우, 출력에서 3개의 성분을 볼수 있습니다.

Carrier frequency 의0 %, 100 %, 200 %.

* CASE 2
키보드에서 몇 개의 음을 더 내어봅니다. 200Hz라고 가정해불까요?이것이 우리의 새로운Carrier frequency라 해봅니다. Modulator는 변화를 주지 않는다면(100Hz) 차의 값은100Hz가 되겠죠. 그리고 합은 300Hz이 됩니다. 이렇게 생성되는 소리는 여전히 조성적인 느낌을 주겠네요. 왜냐하면 차의 신호가 Carrier의 옥타브 아래 값이기 때문입니다. 그러나, 합의 값은 이제 Carrier와 조금 동떨어지는 조성관계에 있게 됩니다. 그러나 이 예제에서 또다른 특별한 점을 보게 됩니다. 그것은 합의 신호가 차의 신호의 3번째 하모닉스라는 것입니다. 따라서 출력 소리는 ‘음악적(?)’으로 들립니다. (Carrier가 차의 신호의 두번째 하모닉스이며 주된 신호이지만, 최종적으로 들리는 것은 Carrier 중심이 아니게 된다는것입니다.) 이 경우의 성분은

Carrier frequency 의50 %, 100 %, 150 %. 가 되겠네요.

* CASE 3
이제 더 random 한 frequency 를 Carrier로 잡아볼까요? 음…..371Hz정도? 그럼 차와 합의 값은 271Hz와471Hz가 되겠네요. 그리고 여기에는전혀 하모닉적인 요소가 없습니다. 3개의 요소는 다름과 같겠습니다.

Carrier frequency 의 73 %, 100 %, 127 %. 즉, enharmonic한 소리가 되겠네요

그러나 이런 비화성적인 소리는 사실상 모든 신호가 이런 경우에서 취급될 때에 일어납니다. 사실 위의 Case1과 2의 예와 같은 경우는 매우 드물지요. 결과적으로 고정된 Modulator AM 은 대부분 aggressive하고 ‘음악적이지 않은’ –위의 ‘음악적’이라고 쓴 말에 비유하자면- 경우에 더 유용하게 쓰여서 여러분이 만드는 소리에 다른 Drama를 연출하게 해 주는 것입니다. 여러분이 ‘얼마나 비 화성 적으로 사용할 것인가’를 조절할 수 있는 것이지요.
그러나 만약 Modulator가 고정되어 있지 않다면?  이런 경우를 생각해 봅니다. 여러분이 같은 CV 소스를 사용하여 와 Carrier 와 Modulator 의 frequency에 영향을 주면서 를 함께 연주한다고 생각해 보는 것입니다.

*CASE 4
잠시 Case2를 다시 봅니다. Carrier는 200Hz 이고 Modulator는 100Hz이었지요. 전처럼 출력이 200Hz을 가지고, 합과 차signal은 100Hz과 300Hz입니다. 그러나 이번에는, 우리가 synthesizer patch를 할 것입니다. 따라서, 여러분은 Carrier를 위아래로 이동시켜 봅니다. Modulator frequency 는 Carrier의 변화를 그대로 따라갑니다. 예를들어 여러분이 Carrier frequency 400Hz 을 연주(200Hz보다 한 옥타브 높은)하면 Modulator frequency 또한 2배가 되고 차와 합의 값은 200Hz 과 600Hz 이 되겠죠? 이 두 가지 경우에서(case2와 carrier 400Hz의 경우), 차, Carrier, 값의 관계는 50 %, 100%, 150 %입니다. 0따라서  Frequency는 2배가 되었지만, waveform의 모양은 그대로 남아있게 될 것입니다.

따라서, 여러분이 어떤 frequencies를 선택하든지, 차, Carrier,합의 관계는 만약 Carrier와 Modulator가 똑같이 이동한다면 관계의 변화(%)는 없을 것이라는 것을 알게 되었습니다. 결과적으로 여러분은 계속적인 tone을 얻어낼 수 있다는것이지요. 따라서 이것은 복잡하고 하모닉적이지 못한 음색이 음색은 지속하되, pitch만 변경할 수 있는 패치를 만들어 낼 수 있습니다.

Amplitude Modulation 은 여러분이 전통적인 oscillators하나만으로 얻을 수 없는 새로운 소리를 연주하고 만들수 있게 해주는 강력한 툴로서 사용될 수 있습니다.

물론 예에서 보여드린 것은 sinewave의 단순한 경우이지만, 다른 waveform에서도 물론 똑같이 적용됩니다. square waves 나sawtooth waves를 Carriers and Modulators로 사용할 수 있을까요? 물론 안됄 이유가 없지요. 그리고 또한 이것을 이해하는 것도 어려울것이 전혀 없습니다.

sawtooth wave 가 모든 harmonics 를 포함하고 있다는 것 아마 제가 수차례 이야기 드려서 이제 잘 기억하시죠? 예를들어 100Hz sawtooth 는 100Hz, 200Hz, 300Hz, 400Hz… 를 전부 포함한다죠? 또한 75Hz sawtooth 는 75Hz, 150Hz, 225Hz…등등을 포함합니다.
그럼Amplitude Modulate을 100Hz sawtooth Carrier와 75Hz sawtooth Modulator를 가지고 한다면?

단순하게 fundamental 은 25Hz, 100Hz, 175Hz(차, Carrier,합)
두번째 하모닉스는 -50Hz, 100Hz, 250Hz (-50이라뇨? 이것은 사실 단순하게 50Hz으로 들립니다. 일단 그러려니 하고 넘어가세요).
세번째는125Hz, 100Hz, 325Hz
…

덧셈과 뺄셈으로 해결되는 쉬운 이해지요? 복잡하게 여겨지지만 배경은 전혀 어렵지 않고 단순한 것을 볼 수 있습니다. 소리는 아주 복잡하겠다는 것을 알 수 있죠.

3. Ring Modulators
또 다른 synthesizer modules 이 있습니다. 이것은 Modulator를 소거시키고 Carrier를 출력에서 소거시키기도 합니다. 그이름 유명한 Ring Modulators. Ring Modulator는 Amplitude Modulator의 특별한 역할을 합니다. 게다가 이것은 단지 Carrier 와 Modulator waveforms가 정확하게 0volt에 중심이 되어있을 때 적용됩니다. 많은 RM ‘AC-coupled’인데, 이것은 입력에서 어떤 DC offert이 modulation이전에 소거되는 것을 의미합니다. 그 결과 출력은 합과 차로만 이루어 져 있습니다. 그러나 이 두개의 신호는 입력 frequency가 아닌것이지요. 단지 몇 개의 RM ‘DC-coupled’ 이며 이것은 AC-coupled 와  다르게 적용됩니다. 대부분은 Carrier와 Modulator가 출력으로 지나가게 해 줍니다. 또한 몇 개의 RM은 몇 synthesizer장비에서AC-coupled 와 DC-coupled을 선택할 수 있도록 하는 스위치를 제공하기도 합니다.

4. Filter Modulation
저는 Filter만 나오면 긴장이 되곤 했더랍니다. 하지만 가장 매력적인 부분이라고 말해도 과언이 아닙니다. 이곳에서도 마찬가지에요.
만약 우리가 LPF의 cutoff를 modulate한다면?  (긴장하지 마세요 ^^)

자. 그럼 복잡한 wave의 하나의 harmonic이 cutoff frequency Fc .위 아무 곳에나 있다고 생각해 봅시다. 여러분이 Fc 를 modulate하는 것 처럼 여러분은 harmonic이 modulation에 의하여 감쇄하는 것을 발견할 수 있습니다. 다른 말로, 그 harmonic은 필터가 action을 변화함으로 인해서 Amplitude Modulate되고 있는 것입니다.  Modulation의 width에 따라서(Modulator의 최대 amplitude) 그 시그널 이내에서 모든 다른 harmonics도 더 크거나 작은 범위로 modulate됩니다. 따라서 다른 set의 harmonics를 modulating하는 harminics를 가지지 않고도, 각각의 성분은 이와 같은 방법으로 modulate되는 것입니다!! 원츄!!

5. Frequency Modulation
자. Amplitude Modulation (tremolo)와 Filter Modulation (growl)는 설명이 되었지요.
이제 Frequency차례입니다. 다음주에 접할 Frequency Modulation은 아쉽게도 조금 더 복잡하고, 수학공식도 또 등장합니다. 하지만 그만한 가치가 있는 녀석이지요?
그럼 다음주에 또 뵙겠습니다.

날씨도 더운데 건강 조심하시고 공부도 열심히!

합성이론11  Amplitude Modulation-part.1
합성이론 3장과 10장 끝에서 modulation sources 가 low-frequency oscillator나 envelope generators가 될 필요가 없다고 말씀드린 적이 있습니다. 몇몇 강력한 synth들은 여러분이 더 높은 frequency source(가청주파수 이내의)를 사용하여 oscillator, filter, VCA를 modulate할 수 있도록 해 줍니다. 이것은 여러분이 새로운 음색의 세계로 가는 문을 열어줍니다.

modulation source가 audio-frequency oscillator이고, 그 마지막이 audio signal path에 있는 VCA의 Gain일 때 우리는 그 결과물을 Amplitude Modulation, 또는 AM 이라 합니다. AM이 매력적으로 쓰이는 이유는 단순히 예상 밖의 결과를 얻을 수 있기 때문만이 아닙니다. 빠른 tremolo소리 대신 원래 signal에 존재하지 않는 새로운 frequency를 만들어 내기 때문입니다.! 어떻게 이런 일이 일어날 수 있을까요? 음.. 이것을 설명하려면 여러분께 본의 아니게 몇몇 수학공식에 대해서 이야기 해야 합니다. 그런데.. 벌써 스크롤 해서 아래로 내려본 후에 바로 웹사이트 닫아버리지 마세요. 한번 마음을 먹고 자세하게 제 설명을 따라가다 보면 정말 재미있어 질것을 제가 약속 드리겠습니다. 저도 그랬거든요. 참는 자에게 복이…….

1. 재미있는 수학으로의 접근? !!!
공식1은 순간의 Amplitude를 공식으로 나타낸 것입니다. W1은 보다시피 frequency이구요. 싸인 웨이브입니다. 공식에서 cos으로 된 이유는 공식을 더 쉽게 하기 위해서 교체되었고 변한 것은 phase가 되었다는 것뿐 입니다. 여기에서 쓰인 ‘a’는 공식에 써있듯이 그 주기 내에서의 maximum level값입니다.

A1=a1cos(w1t)

Equation 1: A simple cosine wave.

1이라는 숫자가 붙은 이유는 이공식이 첫 번째 waveform을 다루고 있다는 것 뿐입니다.

A2=a2cos(w2t)

Equation 2: A second cosine wave.

Now 이제 공식2를 봅니다. 공식1과 다를 바가 없지요? 1이란 숫자가 2란 숫자로 바뀐 것 이외에 다른 것이 없습니다. 위에서 말씀 드렸다시피 2라는 숫자는 우리가 두 번째 waveform을 다룬다는 것이구요. 그리고 다른 maximum amplitude 와 다른 frequency 를 가진다는 것을 의미하기도 합니다.

그럼 여기에서 첫 번째 wave의 amplitude: a1가 두 번째 것 a2의 반이라고 생각해 봅니다. 우리는 이것을 1과 2의 Gain이라고 해두지요. 그 다음에 w1가 w2보다 50%높다고 해 봅시다. 구체적으로 wave1에서 300Hz, 그리고 wave2에서 200Hz라고 해볼게요. (혼동되시면 안돼요. 200의 50%는 100이니까 50%더 높으려면 200+100=300Hz). 이 공식의 그림은 그림 1과 그림3입니다.

그리고 그림에는 각각 harmonic spectra를 보여주고 있습니다. (그림2, 4) 공식을 보다가 그레프를 보고 숨을 한번 쉬시고.. ^^

자 그럼 다음에는 드디어 두개의 wave를 합치는 순간이 왔습니다. 그림 5를 보세요.

그림 6은 그 결과로 나오는 waveform입니다. (단순하게 두 개를 그야말로 더해 놓은 것입니다.) 그림 7은 두 개를 합친 것의 하모닉 spectrum입니다. 말 그대로 그대로 합쳐놓은 것을 쉽게 볼 수 있습니다.

이것은 그렇게 흥미로운 결과물은 아닙니다. 그럼 지금 여기에서 아주 조금 변화를 주어 볼께요. Mixer를 Voltage Controlled Amplifier로 바꾸어보지요 (VCA) . 우리는 wave1을 VCA의 오디오 입력에 보낼것입니다. 그러나 wave2를 다른 오디오 입력으로 보내는 대신에 그것을 gain의 modulator로 사용할것입니다. Wave2는 Modulator, 그리고 wave1은? Carrier가 됩니다.

다시 공식1을 머리에서 꺼냅니다. a1 이wave의maximum amplitude of the wave이며, 여기에서 그것을  VCA의 Gain으로 할것이라는 것. 그러나 우리는 두번째 wave를 통해서 modulate할것이라는 것. 그럼 Modulator가 양수일 때(0V 이상) VCA의 Gain은 증가하고, 음수가되면 그 반대가 되겠죠. 그러나 주어진 시간에서 모든 순간에 우리는 정확하게 무엇이 modulating signal의 amplitude인지 압니다. 그것은 바로 A2입니다. 공식2이지요.

지금 그럼 이것을 공식화 해 보겠습니다. 간단 명료. 있는 그대로. 짜잔.!

 

A1=(a1 + A2)cos(w1t)

Equation 3: The equation defining the output waveform.

자 그럼 어려워하고 지나가지 마시고, A2자리에 A2공식을 그대로 넣어볼께요.

A1=(a1 + a2)cos(w2t))cos(w1t)

Equation 4: Another way of writing equation 3.

그다음 다시 이 공식을 풀어나가 봅니다.

A1= a1cos(w1t)) + a2cos(w2t)cos(w1t)

Equation 5: Another way of writing equation 4.

다시한번 강조하는데 복잡해 하지말고 잘 보시길 ^^;; 공식4까지 아시겠죠? 그 다음에 공식5에서 보면 공식4의 맨 마지막 부분 cos(w1t)의 분배법식으로 a1에 곱하고 a2cos(w2t)에 곱한 것입니다.

공식5을 보면 여러분은 두 개의 cosine이 함께 곱해진다는 것을 알 수 있습니다. 이것을 새로 써봐야겠습니다.  두개의 cosine에 frequencies X 와 Y의 곱을 다른 새로운 형태 cos(X+Y)와 cos(X-Y)로 써봅니다. . 너무 복잡하다구요.. 다시한번 말씀 강조! 걱정하지마세요. 공식5의 오른쪽 부분을 봅니다. 그리고 새롭게 바꾸어봅니다. 단지 frequency의 변화.. (w1+ w2), 그리고 또 한쪽은 (w1- w2). 그것이 공식6

A1= a1cos(w1t)) + 1/2 [a2cos(w1+w2)t] + 1/2[a2cos(w1-w2)t]

Equation 6: The result of Amplitude Modulation.

잘 보면 어려운 것이 아니죠? 단지 다른 방식으로 대체해서 써준 것 뿐이라는 것.

자 그럼 여기서 명상을 잠시하고 위를 잘……보세요. 뇌리를 스치는 재미있는 현상. 그리고 이 맛에 이 공부 한다는 그 느낌. 그 전율..

바로 왼쪽입니다. 우리 여지껏 오른쪽 부분에만 계속 봐왔죠? 잠시 정신차리고 왼쪽을보세요. 이것이 무엇과 같다구요? A1과 같습니다!! 즉 맨 처음공식과 같다는 말씀.

자 그럼 여기서 frequency (w1+ w2)가 의미하는 것이 무엇인지 볼 차례입니다. 이것은 반드시 wave가 (Carrier Frequency + Modulator frequency)의 frequency를 가지고, 또 하나는 반대로 (Carrier Frequency – Modulator frequency)의 frequency를 가진다는것입니다. 다른말로 하면 Amplitude Modulation 은 원래의 Carrier waveform 이 VCA를 통하게 할수 있으며, 이것은 두개의 새로운 signals 일명 합과 차. 두개의 새로운 wave. 맨 처음 말했던 바로 그 wave들을 지금 만나고있습니다. 감동의 순간이 아닐수 없어요 감동!! T_T

그림으로 언제나 다시 보여드리는 친절함. 그림 9는 공식6입니다. 그리고 그림 10은 그림9의 하모닉 스펙트럼을 보여줍니다. 그리고 합과 차. 새로운 frequency. !!!!!!!!!

아직 안끝났어요!. 또다른 중요점은 바로. Modulator가 완전히 사라졌다는것입니다. 그리고Sum 와 Difference signals은 modulator의 amplitude의 반이 되어있습니다. 공식 6 보세요. 1/2라는 것. 보이시죠? 정말 감동입니다. 감동~~~~~~~

충분히 소화한후 다음에 계속합니다. ^-^ 눈물 뚝!!