합성이론 13: Frequency Modulation 살펴보기

지난번 챕터를 통하여 아마 여러분은 FM을 이해하는 어느 정도의 방법에 대해서 익숙해 지셨기를 바랍니다. 그러나, 지금 조금 더 깊은 부분, digital FM instrument 나FM으로 만들어진 modular analogue synth 을 본다면 아마 음악적인 음색보다 FM noise들을 만들게 될 확률이 큽니다. 왜냐하면 여러분들은 sideband와 FM과 Carrier간에 실제 과정상에서 일어나는 다른 작용들에 대하여 살펴보지 않았기 때문이겠지요. 또한 단순한 화성이론에 들어맞게 만드는 방법에 대한 설명도 아직 하지 않았고요. 게다가 side bands의 amplitude를 제어하는 방법에 대한 것도 아직 이야기 하지 않았고요. 자. 그래서 앞으로 이것들을 하나하나 시작해 보도록 하겠습니다.

1. Carrier:Modulator (C:M) 비율
우리는 지난 챕터를 통해서FM의 각 sideband가 Carrier frequency ±Modulator frequency의 정수 곱과 같은 frequency에 높인다는 것을 알고 있습니다. 지난번에 이것이 이렇게 설명되었지요

Equation 1: The maths for working out the frequencies of the side bands produced by frequency modulation

이 공식에서 wsb = side band frequencies의 series, wc = Carrier frequency , wm = modulator frequency, and n = 정수 (0, 1, 2, 3, 4…).입니다.
이제 저는 Hz로 표현되는 frequency에 대한 언급을 지우고 모든 것을 조금 복잡하게 해 볼 생각합니다. 우리는 Carrier와 Modulator frequency의 관계를 비율로서 설명할 수 있으며 이것을 ‘C:M Ratio’라 합니다.

예를 들어서 Carrier frequency인 wc 가 100Hz 이고 Modulator frequency wm 가 200Hz이면, 저는 이것을 1:2ratio라고 할 것입니다. 그리고 이것은 단지 비율만 표기되었고 Hz로 표현되어있지 않습니다.

이것을 정의하기 위해서 이렇게 말해보지요. ‘어떤 주어진 CF(Carrier frequency)에 대하여 윗부분에 있는 sideband들이 C+M, C+2M, C+3M, C+4M…에 놓이고, 더 낮은 것은 C-M, C-2M, C-3M, C-4M…에 놓인다’ 라고 말해봅니다. 이것은 아주 중요한 결과입니다. 여기서 주목해보세요. 이것은 즉, 배음열과 같은 개념상 놓이게 되었습니다.!

C:M ratio is 1:1인 경우를 생각해 봅시다. 이 경우에 Carrier는 1이고 윗부분에 있는 sideband는 2, 3, 4.에, 그리고 낮은 sideband는 0, -1, -2, …에 놓이게 되겠습니다. 그리고 wc 가 100Hz이고 wm도 100Hz가 되어야겠지요? (1:1)그럼 위쪽 sideband는 200, 300, 400 Hz에 놓이게 되겠구요. 이것은 아시다시피 완전한 배음열에 놓이게 됩니다. 즉 다시 말해서 1:1 C:M에 있는 위쪽 sideband는 CF값이 무엇이든 간에 배음 열을 만들어 냅니다.

그러나 낮은 sideband는?? 이것은 말그대로 하자면 0Hz, -100Hz, -200Hz, -300Hz…이렇게 되어야 하는 것이겠죠? 그런데 minus값이라니??

여기에서 단순한 대답이 주어지게 됩니다. 음수의 frequencies는 정수의 frequencies와 같습니다.! 그러나 그것의 위상은 전환됩니다. 이전 합성이론 4장에 보면, out-of-phase signals이 상쇄되고 silence로 남는다 (그림1)는것에 대해서 이야기 했었습니다. 물론 1:1 ratio가 100Hz에서 -100Hz에 의해 상쇄가 되어 소리가 사라지게되고.. 200Hz는 -200에 의해서 상쇄되고…??

물론 이 대답은 ‘no’입니다. 그 이유는 단순합니다. : 전체의 상쇄가 발생하기 위해서는. 상쇄하는 요소의 amplitude는 반드시 같아야 합니다. 그리고 이 경우에서, 상쇄하는 놈, 상쇄 당하는 놈의 amplitude는 다르다는 것이죠. 그럼 side band의 amplitude값을 우리가 어떻게 알 수 있을까요?

2. 베셀함수(Bessel function)
‘Bessel Function’란 용어가 생소하게 느끼신다면, 앞에 챕터를 잘 안보신 것입니다. (ㅋㅋ) 여러 번 언급한적이 있었지요? 베셀함수는 파이(Pi3.1415..)가 원주와 관련하여 무엇을 하는 녀석이라고 하다면 베셀함수는 수학, 물리학, 엔지니어링의 거의 모든 면을 포섭하고 있는 녀석입니다. 만약 여러분이 Modulation Index에 대해서 안다면 어떤 스펙트럼 요소의 amplitude이든 베셀 공식을 사용하여 계산해 낼 수 있습니다.

자. 만약 여러분이 지금부터 하는 몇 문단을 그냥 지나가고 싶어하신다 하더라도 제가 할말이 없습니다. 그래두 한번 읽어 보시겠다면 대 환영이겠지만 ^^ 무언의 압박..

자. 그럼 몇 가지 정의를 내려볼게요. Carrier인 ‘C’를 우리의 Modulate된 신호의 0순위 요소로 설정하고, ‘C+M’ 와 ‘C-M’는 1순위 요소로, ‘C+2M’ 와 ‘C-2M’는 2순위 요소로.. 이렇게 설정해 봅니다.

그 다음 각 순위’n’의 side bands의 각각 쌍들의 amplitude가 순위 ‘n’의 베셀 함수에 의해 정의된 것이 다음 공식 2와 같습니다

<공식 2>
이 공식에서 J(n)(ß)는 Modulation Index ß 에 대한 n순위의 베셀공식 Bessel Function, k 는 그냥 양수 0, 1, 2, 3, 4…(무한대까지), !는 ‘factorial’ (오랜만에 들어보죠?),(참고로.. 혹시 잊으셨을 까봐.. 3!는 0+1+2+3입니다. 4!는 0+1+2+3+4)

네. 끔찍한 공식임에 분명합니다. 지난번 것은 아무것도 아니죠? 아니.. 왜 음악을 하는 데에 이런 것들이 등장해야만 하냐구요. 자.. 사실은 여러분이 DX synthesizer를 program할 때 이것들이 다 사용되고 있답니다. 단지 야마하가 겉으로 보여주지 않을 뿐이죠.  ‘Cross Modulation’ 기능을 사용할 때에도 쓰이고 있습니다. 앗.. cross modulation 는 결국.. 단지 FM의 또 다른 이름이라는 ^^

아무튼.. 만약 여러분이 조금 더 참아보시겠다면 다음 공식3을 보여드리도록 하겠습니다. 하하.. 조금 더 상태 안 좋죠.

<공식 3>

<공식 4>

modulation index ß 가 0.1이라고 상상해보세요. 그리고 여러분이 0번째의 amplitude(Carrier)를 계산하고 싶다고 해볼게요. 그럼 우리는 일단 공식3에서처럼 0을 넣어서(k=0)계산할 수 있습니다. 그리고 두 번째는 k=1(공식4)

이런방법으로 다른 숫자를 대입하여 계산할 수 있습니다. (k=2, k=3, k=4…) 그리고 그것들을 모두 더합니다.  만약 이렇게 하는게 괴롭다면, 3번째가 2번째것보다 값이 작고(그리고 양수이고), 4번째는 3번째것보다 작고 그리고 음수이고.. 이런 방식으로 진행된다는 사실을 알게 됩니다. 이것은 converging series(집중되는 수열)이라고 불리웁니다. 그리고 만약 이것을 다 더하면 Carrier의 amplitude는 1과 아주 근접해 집니다..

자. 그럼 Carrier의 amplitude는 되었고, 그럼side bands는?? 첫번째 sideband인C+M 와 C-M를 구하기 위해서 여러분은 단순히 공식2에 n=1 을 대입하고,  k를 0으로 바꿉니다. 그리고 모든 과정을 다시 시작합니다. 이것을 다 한다음 공식 2에 n=2 를 대입하고 다시 k를 0으로 합니다. 두번째 순서인 C+2M와 C-2M를 구하고 싶다면 그때는 n=3, n=4… 를 대입하면 되는것입니다. 보시다시피, 여러분은 무한한 수열의 계산을 하고 있는것입니다.

다행히, 여러분을 위해서 이 모든 amplitude를 계산해 줄 강력한 방법이 있습니다. 가장 흔한방법은 (그리고 아주 강력한 방법 ㅎㅎ)은Microsoft Excel 을 사용하는 것입니다. 이 녀석은 Modulation Index ß와 n번째의 어떤 베셀공식의 값을 구하는것도 아주 쉽게 해 줍니다.

<그림2>

<그림3>

<그림4>

<그림5>

<그림6>

<그림7>

그림 2에서 7까지는 amplitude chart입니다. 푸른색은 0번째의 Carrier이고 녹색은 그 다음 8개까지의 성분들입니다. 그림 7에서는 Carrier의 amplitude와 첫번째 sidebands가 음수인 것을 볼 수 있습니다(ß=5일 때) 이것은 frequency들이 음수로 전환된다는 것이 아닙니다. 단지 phase의 변화가 역으로 이루어 진 것입니다

3. 인식가능한 배음열 만들기
자 이제 잠시 예를 ß=1일 때 1:1의 예로 돌아가 봅니다. 그림 5에서 여러분은 Carrier가 원래의 amplitude에 거의 도달해 있는 것을 볼 수 있습니다. 그것의 오른쪽에 보면 배음열 2C, 3C, 4C, 5C가 보입니다. 그리고 왼쪽을 보면 0Hz일때에 중요한 요소인 (C-M)를 볼 수 있습니다. (이것은 DC 또는 직렬component로 알려져 있습니다. 왜냐하면 이것은 oscillation frequency를 가지고 있지 않기 때문입니다.-11장 참고하세요-),그리고 아래의amplitude요소  -C, -2C, -3C 를 볼 수 있습니다. 이미 이야기 한 것처럼 이것은 C, 2C, 3C로 위상이 거꾸로 된 것입니다. 따라서 같은 frequency에 있는 같은 위상의 요소로부터 뺀것입니다. 그림 8을 참고하세요

<그림8>

만약 우리가 DC요소를 무시한다면 결과는 모두 Carrier frequency의 overtone을 포함하고 있습니다. (1:1만이 그렇게 될 수 있는 비율입니다.) 그리고 이것은 1/n 배음열로 보입니다. (단지 처음 몇 개의 배음만 있는) 재미있게도 여러분은 여기에서 filter된 sawtooth wave를 완전하게 설명할 수 있을 것입니다.!!

자 그럼 ß=1인1:2 의 경우를 살펴보겠습니다. 이 경우에는 위쪽의 sideband는 C, 3C, 5C, 7C 에 있습니다. 그리고 아래쪽에서 음수에서 역으로 되는 것도 C, 3C, 5C, 7C 에 있습니다.  경우에 결과는 홀수 번째의 성분만 가지게 됩니다. 어디서 많이 보았죠? 이것은 여러분이 square wave를 filter할 때 얻는 결과와 같지요?

자 이번에는 C:M 비율이1:3, 1:4,…일 때를 보지요. 1:3의 위쪽 sidebands는 4C, 7C, 10C… 에, 그리고 아래에서 반사되어 올라오는 것은 2C, 5C, 8C… 에 놓이게 됩니다. 이것은 33%의 pulse wave의 스팩트럼을 연상케 합니다. 이와 유사하게 1:4는 위쪽 sidebands는 5C, 9C, 13C…에 그리고 아래쪽에서 올라오는 것은3C, 7C, 11C…에 놓이게 됩니다. 이것은 역시 square wave와 같습니다.

이렇게, 지난번 챕터의 예제에서 3600Hz bandwidth에서 출력에 24 스팩트럼 요소가 있었던 부분이 설명이 됩니다. 거기에는 10개의 위쪽 sidebands가 있었고, Carrier와 하나의 반사되지 않은 아래쪽 sideband와 12개의 반사된 아래쪽 sideband들이 바로 그것들이지요.
여기서 여러분은 아마 FM이 아주 복잡하지 않게 느껴질지도 모르겠네요(수학만 빼고). 하지만 사는게 그렇듯이, 보이는게 전부가 아니라는것이죠.. 정수 C:M의 비율이 상대적으로 단순한데 그 이유는 그것들이 Cf에서 기본음을 가지는 화성적인 waveform을 만들어 내기 때문입니다. 그러나 또한 특별한 경우들이 있습니다. 예를들어 선택된 비율이 정수가 아닌경우와 같은것들이겠지요. 1:1.2138754 C:M ratio 같은것이 그런것인데, 분명 결과적으로 소리는 완전히enharmonic할 것입니다. 뿐만아니라, Carrier는 더이상 Spectrum상 가장 낮은 소리가 아니라는것이 중요한 점이 되겠지요 ^^

이번 챕터에서 사실상 synthesizer에 관한 정보를 조금 더 다루어 볼까 했는데, 아주 기계적이고 기술적인 부분에 대해서는 조금 지나가 볼까 합니다. 나중에 꼭 필요하다고 느껴지는 부분들이 남으면 다시 올리겠습니다.

오랜만에 찾아뵈었지요? 저는 한국에 온 이후에 더위와 졸음에 찌들다가 powerbook을 최신형으로 업그레이드 한 이후에 활기를 되찾고있습니다. 정말 좋네요. 사용기를 나중에 한번 올려보도록 하지요. 여러분 건강 조심하세요!