합성이론11  Amplitude Modulation-part.1
합성이론 3장과 10장 끝에서 modulation sources 가 low-frequency oscillator나 envelope generators가 될 필요가 없다고 말씀드린 적이 있습니다. 몇몇 강력한 synth들은 여러분이 더 높은 frequency source(가청주파수 이내의)를 사용하여 oscillator, filter, VCA를 modulate할 수 있도록 해 줍니다. 이것은 여러분이 새로운 음색의 세계로 가는 문을 열어줍니다.

modulation source가 audio-frequency oscillator이고, 그 마지막이 audio signal path에 있는 VCA의 Gain일 때 우리는 그 결과물을 Amplitude Modulation, 또는 AM 이라 합니다. AM이 매력적으로 쓰이는 이유는 단순히 예상 밖의 결과를 얻을 수 있기 때문만이 아닙니다. 빠른 tremolo소리 대신 원래 signal에 존재하지 않는 새로운 frequency를 만들어 내기 때문입니다.! 어떻게 이런 일이 일어날 수 있을까요? 음.. 이것을 설명하려면 여러분께 본의 아니게 몇몇 수학공식에 대해서 이야기 해야 합니다. 그런데.. 벌써 스크롤 해서 아래로 내려본 후에 바로 웹사이트 닫아버리지 마세요. 한번 마음을 먹고 자세하게 제 설명을 따라가다 보면 정말 재미있어 질것을 제가 약속 드리겠습니다. 저도 그랬거든요. 참는 자에게 복이…….

1. 재미있는 수학으로의 접근? !!!
공식1은 순간의 Amplitude를 공식으로 나타낸 것입니다. W1은 보다시피 frequency이구요. 싸인 웨이브입니다. 공식에서 cos으로 된 이유는 공식을 더 쉽게 하기 위해서 교체되었고 변한 것은 phase가 되었다는 것뿐 입니다. 여기에서 쓰인 ‘a’는 공식에 써있듯이 그 주기 내에서의 maximum level값입니다.

A1=a1cos(w1t)

Equation 1: A simple cosine wave.

1이라는 숫자가 붙은 이유는 이공식이 첫 번째 waveform을 다루고 있다는 것 뿐입니다.

A2=a2cos(w2t)

Equation 2: A second cosine wave.

Now 이제 공식2를 봅니다. 공식1과 다를 바가 없지요? 1이란 숫자가 2란 숫자로 바뀐 것 이외에 다른 것이 없습니다. 위에서 말씀 드렸다시피 2라는 숫자는 우리가 두 번째 waveform을 다룬다는 것이구요. 그리고 다른 maximum amplitude 와 다른 frequency 를 가진다는 것을 의미하기도 합니다.

그럼 여기에서 첫 번째 wave의 amplitude: a1가 두 번째 것 a2의 반이라고 생각해 봅니다. 우리는 이것을 1과 2의 Gain이라고 해두지요. 그 다음에 w1가 w2보다 50%높다고 해 봅시다. 구체적으로 wave1에서 300Hz, 그리고 wave2에서 200Hz라고 해볼게요. (혼동되시면 안돼요. 200의 50%는 100이니까 50%더 높으려면 200+100=300Hz). 이 공식의 그림은 그림 1과 그림3입니다.

그리고 그림에는 각각 harmonic spectra를 보여주고 있습니다. (그림2, 4) 공식을 보다가 그레프를 보고 숨을 한번 쉬시고.. ^^

자 그럼 다음에는 드디어 두개의 wave를 합치는 순간이 왔습니다. 그림 5를 보세요.

그림 6은 그 결과로 나오는 waveform입니다. (단순하게 두 개를 그야말로 더해 놓은 것입니다.) 그림 7은 두 개를 합친 것의 하모닉 spectrum입니다. 말 그대로 그대로 합쳐놓은 것을 쉽게 볼 수 있습니다.

이것은 그렇게 흥미로운 결과물은 아닙니다. 그럼 지금 여기에서 아주 조금 변화를 주어 볼께요. Mixer를 Voltage Controlled Amplifier로 바꾸어보지요 (VCA) . 우리는 wave1을 VCA의 오디오 입력에 보낼것입니다. 그러나 wave2를 다른 오디오 입력으로 보내는 대신에 그것을 gain의 modulator로 사용할것입니다. Wave2는 Modulator, 그리고 wave1은? Carrier가 됩니다.

다시 공식1을 머리에서 꺼냅니다. a1 이wave의maximum amplitude of the wave이며, 여기에서 그것을  VCA의 Gain으로 할것이라는 것. 그러나 우리는 두번째 wave를 통해서 modulate할것이라는 것. 그럼 Modulator가 양수일 때(0V 이상) VCA의 Gain은 증가하고, 음수가되면 그 반대가 되겠죠. 그러나 주어진 시간에서 모든 순간에 우리는 정확하게 무엇이 modulating signal의 amplitude인지 압니다. 그것은 바로 A2입니다. 공식2이지요.

지금 그럼 이것을 공식화 해 보겠습니다. 간단 명료. 있는 그대로. 짜잔.!

 

A1=(a1 + A2)cos(w1t)

Equation 3: The equation defining the output waveform.

자 그럼 어려워하고 지나가지 마시고, A2자리에 A2공식을 그대로 넣어볼께요.

A1=(a1 + a2)cos(w2t))cos(w1t)

Equation 4: Another way of writing equation 3.

그다음 다시 이 공식을 풀어나가 봅니다.

A1= a1cos(w1t)) + a2cos(w2t)cos(w1t)

Equation 5: Another way of writing equation 4.

다시한번 강조하는데 복잡해 하지말고 잘 보시길 ^^;; 공식4까지 아시겠죠? 그 다음에 공식5에서 보면 공식4의 맨 마지막 부분 cos(w1t)의 분배법식으로 a1에 곱하고 a2cos(w2t)에 곱한 것입니다.

공식5을 보면 여러분은 두 개의 cosine이 함께 곱해진다는 것을 알 수 있습니다. 이것을 새로 써봐야겠습니다.  두개의 cosine에 frequencies X 와 Y의 곱을 다른 새로운 형태 cos(X+Y)와 cos(X-Y)로 써봅니다. . 너무 복잡하다구요.. 다시한번 말씀 강조! 걱정하지마세요. 공식5의 오른쪽 부분을 봅니다. 그리고 새롭게 바꾸어봅니다. 단지 frequency의 변화.. (w1+ w2), 그리고 또 한쪽은 (w1- w2). 그것이 공식6

A1= a1cos(w1t)) + 1/2 [a2cos(w1+w2)t] + 1/2[a2cos(w1-w2)t]

Equation 6: The result of Amplitude Modulation.

잘 보면 어려운 것이 아니죠? 단지 다른 방식으로 대체해서 써준 것 뿐이라는 것.

자 그럼 여기서 명상을 잠시하고 위를 잘……보세요. 뇌리를 스치는 재미있는 현상. 그리고 이 맛에 이 공부 한다는 그 느낌. 그 전율..

바로 왼쪽입니다. 우리 여지껏 오른쪽 부분에만 계속 봐왔죠? 잠시 정신차리고 왼쪽을보세요. 이것이 무엇과 같다구요? A1과 같습니다!! 즉 맨 처음공식과 같다는 말씀.

자 그럼 여기서 frequency (w1+ w2)가 의미하는 것이 무엇인지 볼 차례입니다. 이것은 반드시 wave가 (Carrier Frequency + Modulator frequency)의 frequency를 가지고, 또 하나는 반대로 (Carrier Frequency – Modulator frequency)의 frequency를 가진다는것입니다. 다른말로 하면 Amplitude Modulation 은 원래의 Carrier waveform 이 VCA를 통하게 할수 있으며, 이것은 두개의 새로운 signals 일명 합과 차. 두개의 새로운 wave. 맨 처음 말했던 바로 그 wave들을 지금 만나고있습니다. 감동의 순간이 아닐수 없어요 감동!! T_T

그림으로 언제나 다시 보여드리는 친절함. 그림 9는 공식6입니다. 그리고 그림 10은 그림9의 하모닉 스펙트럼을 보여줍니다. 그리고 합과 차. 새로운 frequency. !!!!!!!!!

아직 안끝났어요!. 또다른 중요점은 바로. Modulator가 완전히 사라졌다는것입니다. 그리고Sum 와 Difference signals은 modulator의 amplitude의 반이 되어있습니다. 공식 6 보세요. 1/2라는 것. 보이시죠? 정말 감동입니다. 감동~~~~~~~

충분히 소화한후 다음에 계속합니다. ^-^ 눈물 뚝!!