합성이론 14: Additive Synthesis
지난번까지 우리는 FM에 대해서 공부를 해보았지요. 지금부터는 또다른 영역의 합성의 세계로 가보도록 하겠습니다.

1. Additive Synthesis(가산합성)의 원리
가산합성의 기본적인 개념은 아주 간단한데요. 합성이론 1장으로 잠시 다시 가보면, 어떤 wave도 sine wave의 형태로 다시 보여질 수 있다는 말을 해 드린적이 있습니다. 간단한 하모닉 오실레이터에서 이 wave들의 각각은 frequency를 가지며, 그것은 원래 배음에 특정 배율을 가지고 있게 되지요. 우리는 그것들을 harmonics라고 부릅니다. 그럼 예를들어서 설명해 보지요. 톱니파형을 보겠습니다.
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그림 1 에서 보여지는 톱니파는 자연에서 얻어질 수 있는 소리는 절대 아닙니다. 왜냐하면 우주는 공지입자와 같은 물리적 객체가 무한하게 빠르게 가속되거나 움직이는 것을 허용하지 않기 때문입니다.  따라서 이 파형은 인위적이고 이상적인 것일 뿐입니다. 여러분이 기억한다면, 이 파형이 어떤 배음렬을 가진다는 것을 아시겠지요. 모든 harmonic이 존재하고 있으며, n번째 배음의 amplitude는 기본음의 1/n배가 됩니다. (그림 2)

그림 2에는 배음의 수가 명시되어 있습니다. 이론상, 이것은 무한배열이 되어야 합니다. 다음 그림 3을보면, 이것은 그림 2를 다시 파형으로 만들어 놓은 모습입니다.
이것은 보시다시피 그림 1과 비슷한 모양을 하고 있습니다.

만약 우리가 어떤 waveform을 어떤 주어진 순간에 그리고, 그 순간 그 배음을 그린다면, 위에서 했던 것처럼 그 배음렬을 택해서 똑 같은 waveform을 그것으로부터 똑같이 만들어 낼 수 있을까요? 즉 A-B-A의 과정이 다시 일어날까요? 네네.. 물론 할 수 있습니다. 왜냐하면 이미 말했듯이 waveform과 배음렬은 단순히 같은 것을 표현하는데 다른 방법을 사용한 것뿐이니까요.

자 우리는 이제 9개의 배음을 가지고 거대한 범위의 waveform을 만들어 보도록 하겠습니다. 예를 들어서 9개에 모두 같은 amplitude를 부여해봅시다. 만약 우리가 이것이 단지 sound안에 있는 배음이라고 가정하면, waveform을 만들어 낼 수 있습니다. (그림 4와 5를 보세요)

보시다시피 ,이 waveform은 우리가 앞에서 한것과 좀 달라보이지요? 조금 구불구불해 보입니다. 그리고 이것은 조금 더많은
high-frequency를 가지게 합니다. 그리고 참으로 이것은 그림 3의것 보다 조금 더 밝게 들리게 됩니다. 이와 마찬가지로 그림 6과 7에서는 같은 방법을 사용하여 사각파를 만들어 보았습니다.

여기에 가산합성의 기본개념이 있습니다. 어떤 주어진 시간에 여러분이 frequency와 amplitude를 부여하여 어떤 파형을 만들 수 있기 때문에, 여러분은 sine wave의 적당한 숫자를 택하여 그것을 적당한 frequency에서 섞을(mix)수 있으며, 이것을 다시 waveform으로 ‘재형성’ 할 수 있다는 것입니다. 여러분이 필요한 것은 바로 위에서 보여진 9개의 oscillator, 그리고 9개의 VCA, mixer, 그리고 Gate pulse와 같은 것으로 그림 9에서 보는 것처럼 amplifier를 open시킬 수 있는 것들 입니다.

2. Electronic Analogue Synthesizer의 모태
만약  analogue domain에서, additive synthesis 가 터무니없이 많이 주어진 modular synth에 의해서 제한된다면, 여러분은 이것으로 이야기는 끝나겠구나..생각하실 것입니다. 그러나 그렇게 제한되지 않기 때문에, 이야기 또한 끝나지 않습니다. ^^ 이 예시들 각각에서 선택한 9개 배음은 우연적으로 선택한 것이 아닙니다. 왜냐하면 이것은 아주 일반적인 analogue인 additive synth를 보여주기 때문입니다. 여러분은 물론 이런 방식이 아니라고 생각하실지도 모르겠네요. 또한 여러분은 이것이 우리가 약 30년 동안 전형적인VCO-VCF-VCA analogue synthesis로 여겼던 것보다 앞선다는 사실에 놀랄 것입니다. 이 악기는 Hammond Tonewheel Additive Synthesizer ‘Hammond Organ’ 입니다.

잠시 이 악기에 대하여 설명하자면, tone wheel organ 의 소리는 91 discs에 의해 실행되고, 이것은 악기의 길이의 대부분에 꽉 차게 놓여져 있습니다. 이 disc의 각각은 오래된 동전처럼 생겼기 때문에 이것이 pickup앞으로 회전할 때에 sine과 같은 전류를 만들게 됩니다. 만약 여러분이 연주할 때 확장된drawbar를 가지고 있다면, 각 키는 단지 하나의 disc로부터 출력을 쳐주게 됩니다. 따라서 각 음이 순수한 sine wave를 만들어 주게 되는 것입니다. 만약 여러분이 두 번째drawbar를 동시에 확장시키면, 또 다른 disc로부터의 출력으로부터 다른 소리를 더하게 됩니다. 즉, 여러분은 2개의 sine wave를 가지게 되는 것입니다. 이렇게 3개, 4개.. 계속 더해질 수 있게 되겠지요.

그림 9는 전형적인 Hammond configuration과 9개의 drawbars (table을 보세요)를 보여줍니다. 이들 각각은 9개의 amplitude positions (1~8과’off’)를 가집니다. 그리고 엄청난 양의 조합이(보통 ‘registrations’라고 하죠)가능합니다.  (참고로 registration마다 9개보다 더 많이 사용되는 것도 가능합니다.)

자. 따라서 정리하면: 9개의 배음렬에 의한 음정, 각각 9개의 volume이 있고, 여러분은 이것들을 자유자제로 조합합니다. 따라서 additive synthesizer는 너무나 많은 양의 독특한 waveform을 만드는 것을 가능하게 해 주는 것입니다. 그러나 물론, 이것이 가산합성의 전부도, 이렇게 끝나는 것도 아닙니다. 지금까지 말한 것은 단지 Hammond sounds.. organ같은 것이지, 강력한 synthesizer가 아니었다는 것을 잊지 마세요.

3. Additive Synthesizer
자. 이번에는 합성이론 4 ~ 8의 내용을 상기해 붑니다.  filters 와envelopes에 대한 이야기로 가보면, 소리가 시간에 따라 변화하지 않으면, 언제나 정지되고 재미없는 소리가 난다는 것에 대해서 말한 적이 있습니다. 따라서 여기에 우리는 지금의 문제를 대응시켜 봅니다. 그럼. Hammond가 강력한 signal generator지만, 신호에 더 포함시킬 수 있는 어떤 것으로 shaping하고 윤곽을 그려줄 수 있는 방법이 없다는 것입니다.  여기에서 중요한 사실이 있습니다.
Organs이 organs 같이 소리 나는 이유는 그것의 waveform generator들의 단순성 때문이 아닙니다. 그것은 소리가 시간에 따라서 변화하지 않기 때문입니다. !!

다르게 다시 표현해보겠습니다.

어떤 방식으로 합성하건 간에, 그리고 원래의 waveform이 얼마나 복잡하던 간에, 어떤 음색이 시간에 따라 변화하지 않는다면 그것은 organ과 같은 소리를 만들게 됩니다.!!

phasers, flangers, echo units과 같은 것을 원래의 신호에 효과를 주기 위해서 적용시켜 보는 것도 하나의 방법입니다. 하지만, 이것은 소리의 결정적인 특성에 효과적이지는 않습니다. 참으로, Hammond는 그 자체의 효과를 주는 set들을 가지고 있습니다. 그것은 chorus/vibrato, reverb, Leslie rotary speaker입니다. 이것들은 악기에게 독특한 sound를 주게 해줍니다. 그러나 여러분은 이런 방법을 합성의 방법이라고 하지는 않습니다. 따라서 우리는 반드시 우리가 가산합성을 증진시켜주는 것이 무엇인지를 알아야 합니다.

tonewheel Hammond 에서 chorus/vibrato, reverb, Leslie effects와 같은 것 없이 소리를 만드는 것을 생각해봅시다. 그리고 이것을 contoured filters와amplifiers에 적용시켜 봅니다. 여러분께서 상상하시다시피, 전형적인 oscillator에서 만들어진 것이 아닌 복잡한 waveform이라 하더라도, 그 소리는 전형적인 conventional synthesizer같이 들립니다. 이것은 우리가 그림8에서의 ‘악기’를 어떻게 더 흥미로운 additive synthesizer로 바꿀지에 대해서 생각하게 해 줍니다. 즉, 단순하게 믹서로부터의 출력에 time-varying filter 와  time-varying amplifier를 첨가해 보는 것이지요. (그림10)

그러나 이것은 여전히 아주 흥미로운additive synthesizer라 말하기엔 부족함이 있습니다. 우리가 만약 modulator가 없다는 것을 무시한다면 이것은 Minimoog와 같은 단순한 multi-oscillator synth와 다를 바가 없게 되는 것입니다.

이제, 현을 뜯는 것과 같은 소리에 대해서 생각해 봅니다. 현을 뜯을 때에는 처음의 음의 시작부분은 크고 밝으며, 시간이 지나면서 ‘darker’된다는 알고 있습니다. 따라서 이것은 단순하게 묘사해 보고 그것을 그림 10에서 어떻게 더 정확하게 만들어 볼 수 있을지 생각해 봅니다.

일단, 우리는 반드시 oscillator의 음정을 할당하여 현의 배음적 특성을 모방합니다. (1/n의 배음렬을 사용)
반드시 시간에서 이 배음 각각이 어떻게 변화할까에 대해서 고려해야 합니다. : 이제 어떻게 시간에 따라서 소리가 멍멍해지고 하는지는 말 안 해도 아시겠지요?

그 담에 우리는 전체 소리의 밝기와 크기에 대해서 고려해야 합니다. 따라서 필터와 amplifier profile등이 필요하겠지요.(잠깐!! 만약 소리가 어떤 순간에 그것의 구성된 harmonics의 pitch와 amplitude에 의해 결정된다면 filter나 amplifier는 필요 없게 된다는 것 잊지마세용)

그림 11을 보세요. 그리고 실제로 additive synthesizer가 어떻게 작동되는지를 참고하세요

여러분이 보시다시피, 이 악기에는 filters와 output VCA가 불충분합니다. 그러나 이것은 여전히 전형적인 VCO-VCF-VCA의 형태의 음색의 대부분을 만들어 냅니다. 그리고 그 외에 많은 것들은 추가하고 추가할 수 있다는 것입니다.

자. 이제 단순한 뜯는 현의 소리를 만들어 보겠습니다. 예를 들어 Oscillator 1 이 기본배음(1st harmonic) frequency인 sine wave 를 만들고 Oscillator 2는  2nd harmonic frequency에서 만들고…..한다고 해 봅니다. 그 다음 Amplifier 1이 Oscillator 1소리에 T시간에 가장 큰 level에서 silence 까지 감소시킵니다.  Amplifier 2는Oscillator 2의 소리를 T/2의 시간에서 똑같이 최대값에서 silence로 decay시킵니다. ……..이 관계는 더 높은 harmonics 가 시작점에서 더 크고, 따라서 더 밝게 소리 난다는 것을 의미합니다. 또한 더 높은frequencies 가 더 빨리decay되기 때문에 소리는 점점’darker’하게 되겠지요. 이것은 단순한 AD contour가 A=0이고 D=T인 low-pass filter와 유사합니다. 그림 12에서 4개의 contour generators에 의한 4개의 envelope를 볼 수 있습니다.

만약 우리가 이 waveform을 계산한다면 우리는 높은frequencies가 더 빨리 decay되고 바로 silence로 decay되고 기본음만 남는다는 것을 알 수 있습니다. 그림 13과 14를 보세요.

물론, 이 같은 것은 sawtooth oscillator와 low-pass filter, single 2-stage contour generator로도 만들어 질 수 있습니다. 그러나 만약 우리가 개별적인 배음 각각을 변화한다면 어떻게 될지 생각해 봅니다. 만약, 3번째 4번째 배음을 조금 빨리 시작(start)하게 하면 어떨까요? 그리고 점점 크게 하는 것입니다. 그리고 나서 음의 끝에서 아주 빠르게 0으로 decay하게 하는 것이지요. 그림 15와 16에서 이 결과를 볼 수 있습니다.

그림 16을 보면 여러분은 시간이 흐름에 따라서 파형이 점점 더 복잡해 지는 것을 보실 수 있습니다. 이 파형은 단순하게 Minimoog, Odyssey, Prophet 5, 또는 다른synthesizer 에서 하나의 signal path로서 얻어 질 수 있는 것은 아닙니다. 여러분은 이 단순한 예를 multiple signal paths 를 가진 synth로 접근해 볼 수 있습니다. 그러나 이것 또한 가장 단순한 몇 가지 예로만 제한되어있습니다. 반면, 진정한 additive synthesizer는 여러분이 개별적으로 32, 64, 128, 256 harmonics까지의 amplitude를 각각 조절해 주는 것을 가능하게 해 줍니다. 그리고 이것이 pre-patched analogue synthesizer가 할 수 없는 것 중 하나입니다.

4. Fourier Synthesis
complex sound를 만드는 이 방법을 Fourier synthesis라 합니다. 그러나 더 일반적인 용어인’additive synthesis’ 는 여러분의 oscillators가 sine wave로 제한되는 것을 의미하지 않습니다. square waves, sawtooth waves, 또는 더 복잡한waves ( PWM’d pulse waves와 같은), 또는 극적으로 복잡한 시간에 따라 변화는 spectra와 같은 것으로부터 여러분을 멀게 할 수 있는 것은 아무것도 없습니다. 그러나 이런complex waves은 그것들의 구성요소를 sine waves로 분해할 수 있고 그 바탕의 원칙은 언제나 같습니다.
불행히 여러분이 complex, evolving, involving sounds를 만든다면, 여러분은 additive synthesizer 에 많은 sine-wave oscillators를 필요로 할 것입니다. 이것이 왜 그 기술이 언제나 digital technology를 요하느냐 하는 이유가 되는 것입니다. 결국, digital영역에서 oscillators 는 단지 숫자에 불과하지만, analogue additive synthesizer는 상당한 량의VCOs, EGs, VCAs, mixers 를 필요로 하게 됩니다. 또한, 여러분이 단지 용이한 oscillators를 사용하여 소리를 만드는 것을 피할 수 없지만, 만약 여러분이 많은 배음을 포함하고 있는 자연스러운 소리를 재창조 하기를 원한다면, 여러분은 아마 엄청 많은 것들을 필요로 하게 될 것입니다.
그러나 이것 조차도 이야기의 끝이 아닙니다. 왜냐하면 현실에서 각각의 oscillator는 그것의 pitch와 amplitude를 변형시킬수 있는 modifiers를 필요로 합니다. 이것들 없이 다양한 배음의 frequencies는 다른 것에 비교하여 지속적으로 남아있고 다시금 그저 그런 organ음색이 되어버릴 것입니다. 게다가, 모든 배음을 modulating하는 하나의 LFO 가 그저 그런 소리에 힘을 가하게 될 것입니다. 따라서 우리의 analogue additive synth는 지금, pitch LFO를 boasting하는 각각의 oscillator와 함께 거대한 성장을 필요로 하고 있습니다.

게다가 우리가 완전히 단순하게 음색을 만드는 것에서 완전히 벗어나기 전에, 우리는 또한 음악이 단지 소리를 만드는 것에 지나지 않는다는 것, 그것은, 연주하는 것과, 어떤 종류의 선호하는 표현과 성격이 있어야 한다는 것을 기억해야 합니다. 따라서 우리는 velocity- , pressure-sensitivity의 제어, real-time controllers 를 첨가해야 합니다.  지금 여러분은 자랑스러운analogue additive synth를 가지고 있습니다.

5. Now Let’s Get Noisy
이 시점에서 여러분은 마치 거대한 additive synth가 완성되었다고 느낄지 모르겠습니다. 그러나 아직입니다.
중요한 것은 무엇이냐 하면.. 여러분이 sine wave의 합으로 쪼갤 수 없는 소리가 많이 존재한다는 것입니다. 또한 이 시점에서, 여러분은 우리가 여태껏 무언가 잘못 해온 것이 아니라는 것은 아셔야 합니다
플루트이나 트럼펫과 같은 악기를 생각해보지요. 만약 여러분이 적당한 장비를 가지고 있다면, 이 소리의 배음을 추출해 낼 수 있습니다. 그러나 만약 여러분이 이 배음들을 원래의 소리로 다시 함친다면, 그 안에 노이즈가 남아있을 것입니다. 이 노이즈는 아마 아주 크거나 거슬리지는 않지만 아무튼 노이즈는 노이즈지요. 따라서 우리의additive synth는 여전히 또 다른 sound source를 필요로 합니다. 바로 noise generator이지요.  orchestral instruments에서 만들어진 노이즈는 ‘white’ 나 ‘pink’와는 다릅니다.; 그것은 악기의 속성에 의해 무섭게 필터된 것입니다. 따라서 우리는 적어도 하나의 필터가 필요하다는 사실을 알 수 있습니다. 그리고 물론 이것은 그 노이즈의 색깔을 시간이 변화함에 따라 실제 소리처럼 변화시켜줄 그 자체의contour generator도 필요로 하게 됩니다. noise generator는 또한VCA 와 그에 따른 contour generator를 필요로 하게 됩니다.
사실 이런 확장은 Spectral Modelling Synthesis라고 불립니다. signal analysis없이 여러분은 이것을 단지 sound generation의 ‘sinusoids plus noise’ model이라고 부를 수 있겠네요.(그림 17)

너무 복잡하게만 생각하지마세요. 이런 잠재적인 복잡성에소 불구하고 단순한additive synthesis는 많이 사용됩니다. 2개 이상의 독립적으로 tune할 수 있는 oscillator를 가진 악기를 연주하는 사람은(아마도 노이즈 소스) tuned fifths, octaves와 같은 것을 사용하여 소리를 만들어왔을 것입니다. 앞으로 여러분은 그것들 대신 additive synthesis를 선택 할 수 있게 될 것입니다.

합성이론 13: Frequency Modulation 살펴보기

지난번 챕터를 통하여 아마 여러분은 FM을 이해하는 어느 정도의 방법에 대해서 익숙해 지셨기를 바랍니다. 그러나, 지금 조금 더 깊은 부분, digital FM instrument 나FM으로 만들어진 modular analogue synth 을 본다면 아마 음악적인 음색보다 FM noise들을 만들게 될 확률이 큽니다. 왜냐하면 여러분들은 sideband와 FM과 Carrier간에 실제 과정상에서 일어나는 다른 작용들에 대하여 살펴보지 않았기 때문이겠지요. 또한 단순한 화성이론에 들어맞게 만드는 방법에 대한 설명도 아직 하지 않았고요. 게다가 side bands의 amplitude를 제어하는 방법에 대한 것도 아직 이야기 하지 않았고요. 자. 그래서 앞으로 이것들을 하나하나 시작해 보도록 하겠습니다.

1. Carrier:Modulator (C:M) 비율
우리는 지난 챕터를 통해서FM의 각 sideband가 Carrier frequency ±Modulator frequency의 정수 곱과 같은 frequency에 높인다는 것을 알고 있습니다. 지난번에 이것이 이렇게 설명되었지요

Equation 1: The maths for working out the frequencies of the side bands produced by frequency modulation

이 공식에서 wsb = side band frequencies의 series, wc = Carrier frequency , wm = modulator frequency, and n = 정수 (0, 1, 2, 3, 4…).입니다.
이제 저는 Hz로 표현되는 frequency에 대한 언급을 지우고 모든 것을 조금 복잡하게 해 볼 생각합니다. 우리는 Carrier와 Modulator frequency의 관계를 비율로서 설명할 수 있으며 이것을 ‘C:M Ratio’라 합니다.

예를 들어서 Carrier frequency인 wc 가 100Hz 이고 Modulator frequency wm 가 200Hz이면, 저는 이것을 1:2ratio라고 할 것입니다. 그리고 이것은 단지 비율만 표기되었고 Hz로 표현되어있지 않습니다.

이것을 정의하기 위해서 이렇게 말해보지요. ‘어떤 주어진 CF(Carrier frequency)에 대하여 윗부분에 있는 sideband들이 C+M, C+2M, C+3M, C+4M…에 놓이고, 더 낮은 것은 C-M, C-2M, C-3M, C-4M…에 놓인다’ 라고 말해봅니다. 이것은 아주 중요한 결과입니다. 여기서 주목해보세요. 이것은 즉, 배음열과 같은 개념상 놓이게 되었습니다.!

C:M ratio is 1:1인 경우를 생각해 봅시다. 이 경우에 Carrier는 1이고 윗부분에 있는 sideband는 2, 3, 4.에, 그리고 낮은 sideband는 0, -1, -2, …에 놓이게 되겠습니다. 그리고 wc 가 100Hz이고 wm도 100Hz가 되어야겠지요? (1:1)그럼 위쪽 sideband는 200, 300, 400 Hz에 놓이게 되겠구요. 이것은 아시다시피 완전한 배음열에 놓이게 됩니다. 즉 다시 말해서 1:1 C:M에 있는 위쪽 sideband는 CF값이 무엇이든 간에 배음 열을 만들어 냅니다.

그러나 낮은 sideband는?? 이것은 말그대로 하자면 0Hz, -100Hz, -200Hz, -300Hz…이렇게 되어야 하는 것이겠죠? 그런데 minus값이라니??

여기에서 단순한 대답이 주어지게 됩니다. 음수의 frequencies는 정수의 frequencies와 같습니다.! 그러나 그것의 위상은 전환됩니다. 이전 합성이론 4장에 보면, out-of-phase signals이 상쇄되고 silence로 남는다 (그림1)는것에 대해서 이야기 했었습니다. 물론 1:1 ratio가 100Hz에서 -100Hz에 의해 상쇄가 되어 소리가 사라지게되고.. 200Hz는 -200에 의해서 상쇄되고…??

물론 이 대답은 ‘no’입니다. 그 이유는 단순합니다. : 전체의 상쇄가 발생하기 위해서는. 상쇄하는 요소의 amplitude는 반드시 같아야 합니다. 그리고 이 경우에서, 상쇄하는 놈, 상쇄 당하는 놈의 amplitude는 다르다는 것이죠. 그럼 side band의 amplitude값을 우리가 어떻게 알 수 있을까요?

2. 베셀함수(Bessel function)
‘Bessel Function’란 용어가 생소하게 느끼신다면, 앞에 챕터를 잘 안보신 것입니다. (ㅋㅋ) 여러 번 언급한적이 있었지요? 베셀함수는 파이(Pi3.1415..)가 원주와 관련하여 무엇을 하는 녀석이라고 하다면 베셀함수는 수학, 물리학, 엔지니어링의 거의 모든 면을 포섭하고 있는 녀석입니다. 만약 여러분이 Modulation Index에 대해서 안다면 어떤 스펙트럼 요소의 amplitude이든 베셀 공식을 사용하여 계산해 낼 수 있습니다.

자. 만약 여러분이 지금부터 하는 몇 문단을 그냥 지나가고 싶어하신다 하더라도 제가 할말이 없습니다. 그래두 한번 읽어 보시겠다면 대 환영이겠지만 ^^ 무언의 압박..

자. 그럼 몇 가지 정의를 내려볼게요. Carrier인 ‘C’를 우리의 Modulate된 신호의 0순위 요소로 설정하고, ‘C+M’ 와 ‘C-M’는 1순위 요소로, ‘C+2M’ 와 ‘C-2M’는 2순위 요소로.. 이렇게 설정해 봅니다.

그 다음 각 순위’n’의 side bands의 각각 쌍들의 amplitude가 순위 ‘n’의 베셀 함수에 의해 정의된 것이 다음 공식 2와 같습니다

<공식 2>
이 공식에서 J(n)(ß)는 Modulation Index ß 에 대한 n순위의 베셀공식 Bessel Function, k 는 그냥 양수 0, 1, 2, 3, 4…(무한대까지), !는 ‘factorial’ (오랜만에 들어보죠?),(참고로.. 혹시 잊으셨을 까봐.. 3!는 0+1+2+3입니다. 4!는 0+1+2+3+4)

네. 끔찍한 공식임에 분명합니다. 지난번 것은 아무것도 아니죠? 아니.. 왜 음악을 하는 데에 이런 것들이 등장해야만 하냐구요. 자.. 사실은 여러분이 DX synthesizer를 program할 때 이것들이 다 사용되고 있답니다. 단지 야마하가 겉으로 보여주지 않을 뿐이죠.  ‘Cross Modulation’ 기능을 사용할 때에도 쓰이고 있습니다. 앗.. cross modulation 는 결국.. 단지 FM의 또 다른 이름이라는 ^^

아무튼.. 만약 여러분이 조금 더 참아보시겠다면 다음 공식3을 보여드리도록 하겠습니다. 하하.. 조금 더 상태 안 좋죠.

<공식 3>

<공식 4>

modulation index ß 가 0.1이라고 상상해보세요. 그리고 여러분이 0번째의 amplitude(Carrier)를 계산하고 싶다고 해볼게요. 그럼 우리는 일단 공식3에서처럼 0을 넣어서(k=0)계산할 수 있습니다. 그리고 두 번째는 k=1(공식4)

이런방법으로 다른 숫자를 대입하여 계산할 수 있습니다. (k=2, k=3, k=4…) 그리고 그것들을 모두 더합니다.  만약 이렇게 하는게 괴롭다면, 3번째가 2번째것보다 값이 작고(그리고 양수이고), 4번째는 3번째것보다 작고 그리고 음수이고.. 이런 방식으로 진행된다는 사실을 알게 됩니다. 이것은 converging series(집중되는 수열)이라고 불리웁니다. 그리고 만약 이것을 다 더하면 Carrier의 amplitude는 1과 아주 근접해 집니다..

자. 그럼 Carrier의 amplitude는 되었고, 그럼side bands는?? 첫번째 sideband인C+M 와 C-M를 구하기 위해서 여러분은 단순히 공식2에 n=1 을 대입하고,  k를 0으로 바꿉니다. 그리고 모든 과정을 다시 시작합니다. 이것을 다 한다음 공식 2에 n=2 를 대입하고 다시 k를 0으로 합니다. 두번째 순서인 C+2M와 C-2M를 구하고 싶다면 그때는 n=3, n=4… 를 대입하면 되는것입니다. 보시다시피, 여러분은 무한한 수열의 계산을 하고 있는것입니다.

다행히, 여러분을 위해서 이 모든 amplitude를 계산해 줄 강력한 방법이 있습니다. 가장 흔한방법은 (그리고 아주 강력한 방법 ㅎㅎ)은Microsoft Excel 을 사용하는 것입니다. 이 녀석은 Modulation Index ß와 n번째의 어떤 베셀공식의 값을 구하는것도 아주 쉽게 해 줍니다.

<그림2>

<그림3>

<그림4>

<그림5>

<그림6>

<그림7>

그림 2에서 7까지는 amplitude chart입니다. 푸른색은 0번째의 Carrier이고 녹색은 그 다음 8개까지의 성분들입니다. 그림 7에서는 Carrier의 amplitude와 첫번째 sidebands가 음수인 것을 볼 수 있습니다(ß=5일 때) 이것은 frequency들이 음수로 전환된다는 것이 아닙니다. 단지 phase의 변화가 역으로 이루어 진 것입니다

3. 인식가능한 배음열 만들기
자 이제 잠시 예를 ß=1일 때 1:1의 예로 돌아가 봅니다. 그림 5에서 여러분은 Carrier가 원래의 amplitude에 거의 도달해 있는 것을 볼 수 있습니다. 그것의 오른쪽에 보면 배음열 2C, 3C, 4C, 5C가 보입니다. 그리고 왼쪽을 보면 0Hz일때에 중요한 요소인 (C-M)를 볼 수 있습니다. (이것은 DC 또는 직렬component로 알려져 있습니다. 왜냐하면 이것은 oscillation frequency를 가지고 있지 않기 때문입니다.-11장 참고하세요-),그리고 아래의amplitude요소  -C, -2C, -3C 를 볼 수 있습니다. 이미 이야기 한 것처럼 이것은 C, 2C, 3C로 위상이 거꾸로 된 것입니다. 따라서 같은 frequency에 있는 같은 위상의 요소로부터 뺀것입니다. 그림 8을 참고하세요

<그림8>

만약 우리가 DC요소를 무시한다면 결과는 모두 Carrier frequency의 overtone을 포함하고 있습니다. (1:1만이 그렇게 될 수 있는 비율입니다.) 그리고 이것은 1/n 배음열로 보입니다. (단지 처음 몇 개의 배음만 있는) 재미있게도 여러분은 여기에서 filter된 sawtooth wave를 완전하게 설명할 수 있을 것입니다.!!

자 그럼 ß=1인1:2 의 경우를 살펴보겠습니다. 이 경우에는 위쪽의 sideband는 C, 3C, 5C, 7C 에 있습니다. 그리고 아래쪽에서 음수에서 역으로 되는 것도 C, 3C, 5C, 7C 에 있습니다.  경우에 결과는 홀수 번째의 성분만 가지게 됩니다. 어디서 많이 보았죠? 이것은 여러분이 square wave를 filter할 때 얻는 결과와 같지요?

자 이번에는 C:M 비율이1:3, 1:4,…일 때를 보지요. 1:3의 위쪽 sidebands는 4C, 7C, 10C… 에, 그리고 아래에서 반사되어 올라오는 것은 2C, 5C, 8C… 에 놓이게 됩니다. 이것은 33%의 pulse wave의 스팩트럼을 연상케 합니다. 이와 유사하게 1:4는 위쪽 sidebands는 5C, 9C, 13C…에 그리고 아래쪽에서 올라오는 것은3C, 7C, 11C…에 놓이게 됩니다. 이것은 역시 square wave와 같습니다.

이렇게, 지난번 챕터의 예제에서 3600Hz bandwidth에서 출력에 24 스팩트럼 요소가 있었던 부분이 설명이 됩니다. 거기에는 10개의 위쪽 sidebands가 있었고, Carrier와 하나의 반사되지 않은 아래쪽 sideband와 12개의 반사된 아래쪽 sideband들이 바로 그것들이지요.
여기서 여러분은 아마 FM이 아주 복잡하지 않게 느껴질지도 모르겠네요(수학만 빼고). 하지만 사는게 그렇듯이, 보이는게 전부가 아니라는것이죠.. 정수 C:M의 비율이 상대적으로 단순한데 그 이유는 그것들이 Cf에서 기본음을 가지는 화성적인 waveform을 만들어 내기 때문입니다. 그러나 또한 특별한 경우들이 있습니다. 예를들어 선택된 비율이 정수가 아닌경우와 같은것들이겠지요. 1:1.2138754 C:M ratio 같은것이 그런것인데, 분명 결과적으로 소리는 완전히enharmonic할 것입니다. 뿐만아니라, Carrier는 더이상 Spectrum상 가장 낮은 소리가 아니라는것이 중요한 점이 되겠지요 ^^

이번 챕터에서 사실상 synthesizer에 관한 정보를 조금 더 다루어 볼까 했는데, 아주 기계적이고 기술적인 부분에 대해서는 조금 지나가 볼까 합니다. 나중에 꼭 필요하다고 느껴지는 부분들이 남으면 다시 올리겠습니다.

오랜만에 찾아뵈었지요? 저는 한국에 온 이후에 더위와 졸음에 찌들다가 powerbook을 최신형으로 업그레이드 한 이후에 활기를 되찾고있습니다. 정말 좋네요. 사용기를 나중에 한번 올려보도록 하지요. 여러분 건강 조심하세요!